常见定积分及数值(2)
时间: 2025-02-27 14:37:16
好的！以下是 20 个常见定积分及其结果，包括多项式、三角函数、指数函数和对数函数的积分。
20 个常见定积分及其结果
1. 多项式积分:
- $\int_0^1 x^4 \, dx = \frac{1}{5}$
- $\int_0^1 x^5 \, dx = \frac{1}{6}$
- $\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}$
- $\int_0^3 x^3 \, dx = \frac{27}{4}$
2. 三角函数积分:
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx = 1$
- $\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx = 2$
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{4}$
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx = \frac{\pi}{4}$
3. 指数函数积分:
- $\int_0^1 e^x \, dx = e - 1$
- $\int_0^1 e^{-x} \, dx = 1 - \frac{1}{e}$
- $\int_0^1 e^{-2x} \, dx = \frac{1}{2}(1 - e^{-2})$
- $\int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
4. 对数函数积分:
- $\int_1^e \ln(x) \, dx = 1$
- $\int_0^1 \frac{1}{x} \, dx = \infty$ （不收敛）
- $\int_1^2 \frac{1}{x} \, dx = \ln(2)$
5. 其他特殊积分:
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx = \ln(\sec(x) + \tan(x))\Big|_0^{\frac{\pi}{2} - \epsilon} = \infty$ （不收敛）
- $\int_0^1 (1 - x)^2 \, dx = \frac{1}{3}$
- $\int_0^1 (1 + x)^n \, dx = \frac{(n+1)}{n+2}$
6. 复合函数积分:
- $\int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}$
- $\int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12}$
备注
这些定积分展示了不同类型函数的积分性质和结果，适用于计算各种数学和物理问题。如果您需要更详细的推导过程或特定积分的解决方案，请告诉我！