简谐运动

机械振动

1.定义： 物体在平衡位置附近的往复运动。

2.特点：

(1)平衡位置：振动停止时物体所在的位置。

(2)往复运动：——“周期性”。

位移x：振动物体的位移x用从平衡位置指向物体所在位置的有向线段表示。

上图中含有v-t图像(速度-时间)和s-t图像(位移-时间)

简谐振动

物体受力大小与位移成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的振动称为简谐运动。

简谐振动是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动（如单摆运动和弹簧振子运动）。实际上简谐振动就是正弦振动。

回复力：使振动物体返回平衡位置的力。

振子在振动过程中，所受重力与支持力平衡，振子在离开平衡位置 O 点后，只受到弹簧的弹力作用，这个力的方向跟振子离开平衡位置的位移方向相反，总是指向平衡位置，所以称为回复力。

特点：

方向：总指向平衡位置。

回复力是按效果命名的力，回复力可以是物体受到的一个力,也可以是物体所受某一个力的分力,还可以是物体受到的合外力。

平衡位置：平衡位置是指回复力为零的位置，但并不一定是合外力为零的位置（单摆）。

在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的回复力F与振子偏离平衡位置的位移x大小成正比，且方向总是相反。这个关系符合胡克定律，即$F=−kx$。

简谐运动方程

简谐运动方程： $x=Acos(ωt+φ)$

根据该运动方程式，我们可以说位移是时间t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。 简谐运动的数学模型是一个线性常系数常微分方程，这样的振动系统称为线性系统。

线性系统是振动系统最简单最普遍的数学模型。但一般情况下，线性系统只是振动系统在小振幅条件下的近似模型。

描述简谐运动特征的物理量

振幅

振幅反应了振动的强度，它是由初始条件决定的。上述运动方程中A即为该振动的振幅。

周期

物体经过一次全振动所经历的时间叫作振动的周期，用T表示。

频率

与周期密切相关的是频率，即单位时间内物体所作的完全振动次数叫作频率，用f表示。

圆频率

$2\pi$秒内所作的完全振动次数叫作圆频率（角频率），即上述运动方程中的ω。它与周期T和频率f之间的关系为$\omega=2\pi f$ 、$\omega=\frac{2\pi}{T}$。

简谐运动的圆频率是由系统的力学性质所决定的，故又称为固有圆频率。例如弹簧振子的圆频率公式如下，其中，k和m分别表示弹簧振子的刚度和质量，对于给定的弹簧振子，圆频率仅与自身的刚度和质量有关，是由本身的性质所决定的。

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

相位与初相位

我们把确定物体任意时刻运动状态的物理量称为相位（或位相），用φ表示，表达式如下所示，其中 ${\varphi}_0$是t=0时的相位，又称为初相位。

$\varphi = \omega t + {\varphi}_0$

简谐运动的特点

1、简谐振动是最简单、最基本的运动，简谐振动是理想化的振动。

2、回复力与位移成正比而方向相反，总是指向平衡位置。

3、简谐运动是一种理想化的运动，振动过程中无阻力，所以振动系统机械能守恒。

4、简谐运动是一种非匀变速运动。

5、位移随时间变化关系图是正弦或余弦曲线。

判断机械振动是否是简谐运动的方法

1、找振动物体的平衡位

2、列出物体的位移为X时回复力的表达式

3、判断回复力是否满足，胡克定律$F=-kx$

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