微积分

微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微分符号 $dx$，$dy$等，系由莱布尼茨首先使用。其中的"$d$"源自拉丁语中“差”（Differentia）的第一个字母。积分符号“$\int$ ”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语“总和”（Summa）的第一个字母s的伸长（和$\sum$有相同的意义）， “$\oint$” 为围道积分。

积分学

　　积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数，又分为定积分与不定积分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和，约等于函数曲线下包含的实际面积。因此，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。从技术上来讲，积分学是研究线性算子之间的关系。

　　不定积分是导数的逆运算，即反导数。当f是F的导数时，F是f的不定积分。（这种在公式中使用大小写字母以区分微分积分在数学中很常见。）

　　定积分输入公式，得出数字，即给出图像与横坐标之间面积的代数解。对定积分的技术定义是矩形总面积的极限，又称黎曼积分。

　　举例：在给定时间内行径的路程：

　　路程 = 速度 × 时间

　　如果速度是一定的，那么上述参数简单相乘既可得出结果。但如果速度为变量，那么就不得不使用更强大的公式。其中的一个方式是将行径路程根据时间近似地划分成许多小部分，将每个间距中的时间乘以当时的速度，最后将每个间距所行径的近似路程累计为黎曼和。最基本的概念是，如果时长间隔很短，那么速度会近似不变。然而，黎曼和只给出行径路程的近似值。我们必须求得黎曼积分的极限，来得出精确的值。

　　如果图中的f(x)代表根据时间而改变的速度，那么a时间点与b时间点之间的路程就可以用阴影区域s来表达。

　　要求得区域面积的近似值，直观的办法就是将a、b两点之间的路程分割为等长线段，每个线段的长度用符号$Δx$来标记。对于每个小线段，我们在方程上找到对应值f(x)，记为h。如此，以$Δx$为底、h为高的矩形面积（时间$Δx$乘以速度h） ，就是通过该线段的路程。和每个线段相关联的是线段上方程的平均值$f(x) = h$。所有矩形的总和就是数轴与曲线之间面积的近似值，即总行径路程的近似值。Δx的值越小，矩形数量就越多，近似值也就越精确。而如果我们要求得精确值，就必须寻找Δx的极限，令其数值逼近零。

　　积分的符号是$\int$, 好像一个拉长的S（S意味"求和"）。定积分被记为如下：

　　$\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.$

　　求f(x)由a到b的定积分。莱布尼茨的符号dx意在表述将曲线下的面积分割为无穷多的矩形，以至于他们的宽Δx变成无穷小的dx。建立在极限上的微积分，符号

　　$\int_a^b \ldots\, \mathrm{d}x$

　　应被理解为输入方程公式，输出数字面积。终端微分dx不是数字，也不是与方程f(x)相乘，而是作为Δx余留的极限定义，可被视为积分运算的符号。从形式上来讲，微分代表了被积分方程的变量，并作为积分运算的尾括号。

　　不定积分，或反导数，被记作：

　　$\int f(x)\, \mathrm{d}x.$

　　常数不同，导数相同的方程，可是说明一个方程的反导数实际上是一组常数不同的方程组。C是常数的方程$y = x^2 + C$求导，得方程$y' = 2x$；后者的反导数可被写为：

　　$\int 2x\, \mathrm{d}x = x^2 + C.$

　　反导数中的未知常数C被称为积分常数.

微积分基本公式

微积分基本公式又称微积分基本定理、牛顿-莱布尼茨公式，证实微分和积分互为逆运算。更精确地说，它将一个反导数的具体值与定积分联系起来。因为计算反导数通常比应用定积分定义更加简单，微积分基本公式为计算定积分提供了一个行之有效的方式。它也可以被理解为微分是积分逆运算的精确解释。

　　微积分基本公式：如果方程f在[a, b ]区间是连续的，方程F在区间（a, b）的导数是f，那么，

　　$\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).$

　　更进一步，对于在区间（a, b）的每个x都有,

　　$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\, \mathrm{d}t = f(x).$

　　根据前辈伊萨克·巴罗的成果，艾萨克·牛顿爵士和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发现了这一规律。

微分学

　　微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率（导数或微商）。换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被称作「微分学的鼻祖」。

　　微分学研究的是一个函数的导数的定义，性质和应用。求导的过程被称为微分。给定一个函数和定义域内的一个点，在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。

通过找出一个函数定义域内每一点的导数，可以生成一个新的函数，叫做原函数的导函数，或者导数。在数学术语中，导数是输入一个函数，输出另一个函数的线性算子。

这比初等代数里的过程更抽象一些，初等代数里的函数常常是输入一个数，并输出另一个数。例如，如果在倍增函数中输入3，则输出6，和如果在平方函数中输入3，则输出9。但是，微分能把平方函数作为输入，这意味着微分利用平方函数的所有信息去产生另一个函数（生成的函数是倍增函数）。导数的最常见的符号是一个类似撇号的符号，叫作“撇”。

从而函数f的导数是f'，读作“f一撇”。例如，如果$f(x) = x^2$ 是平方函数，那么它的导数$f'(x)=2x$是倍增函数。如果函数的输入量代表时间，那么导数就代表关于时间的变化。例如，如果f是输入时间，输出那个时间的球的位置的函数，则f的导数就是位置随着时间怎样变化，这就是球的速度。

如果一个函数是线性的（也就是说，如果函数的图像是一条直线），那么这个函数可以写成$y = mx + b$，x是自变量，y是因变量，b是y的纵截距，且

　　$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.$

　　这个公式给了一条直线的斜率的一个准确值。如果这个函数的图像不是一条直线，那么在y上的变化量除以在x上的变化量随x改变。导数给出了输出量关于输入量的变化率这一概念一个确切的含义。具体来说，设f是一个函数，并在它的定义域内取一个点a，(a,f(a))是这个函数图像中的一个点。假设h是一个接近于0的数，这时a + h是一个接近于a的数。所以(a + h,f(a + h))是节点于(a,f(a))的。这两点间的斜率是

　　$m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$

　　这个表达式称为差商。通过曲线上的两个点的一条线称为割线，所以m是(a,f(a))和(a + h,f(a + h))间割线的斜率。割线仅仅是函数在a点行为的一个近似，因为它不能解释函数在a到a + h之间的情况。通过设定h为0来发现函数在a处的行为是不可能的，因为这需要除以0，而除以0也是不可能的。导数定义为h趋向于0时差商的极限，就是说用h可取的所有可能小的值来研究f的行为，并取一个合适的值作为当h等于0时差商的值。

　　$\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.$

　　几何上，导数是函数f在a点处切线的斜率。切线是割线的极限，正如导数是差商的极限。因此，导数有时也被称为f的斜率。这里有一个具体的例子，就是求一个平方函数在x等于3处的导数。令这个平方函数为$f(x) = x^2$

　　$f'(3)=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} =\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} =\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} =\lim_{h \to 0} (6 + h)= 6$

　　平方函数在点(3,9)处的切线斜率是6，也就是说，它是朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。若平方函数的定义域中的任一点都存在刚才所描述的极限，那么我们就把它定义为平方函数的导函数，也简称为平方函数的导数。以上的一个相似计算表明平方函数的导数是倍增函数。

相关链接：1.微积分基础知识